Matématika

Euklides, matématikawan Yunani, abad ka-3 SM, kados ingkang dipunlukisaken déning Raffaello Sanzio ing salebetipun detail puniki saking Sekolah Athena.

Matématika (basa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká, saking tembung μάθημα(máthema) ingkang artosipun "sains, èlmu pangertosan, utawi sinau" ugi μαθηματικός (mathematikós) ingkang artosipun "remen sinau" ) inggih punika studi besaran, struktur, ruwang, lan éwah-éwahan. Para matématikawan pados manéka pola, ngrumusaken konjektur énggal, lan mbangun kaleresan liwat métode deduksi ingkang kaku saking aksioma-aksioma lan dhéfinisi-dhéfinisi ingkang silih selaras.

Dhisiplin ingkang paling utami ing matématika dhasaripun inggih punika kabetahan kanggé pangétangan wonten bidhang padagangan, pangukuran siti ugi pangétangan kanggé paramalan kadadosan astronomi. Tiga kabetahan punika umumipun wonten gegandhènganipun kaliyan pambagéyan umum bidhang matématika inggih punika: studi masalah struktur, ruwang lan éwah-éwahan.

Pangertosan ingkang prasaja saking matématika inggih punika ngèlmu étung utawi aritmatika, punika arupi pamahaman matématika ingkang paling dhasar.

Wonten paslisihan perkawis punapa objèk-objèk matématika kadosta wilangan lan titik dhateng sacara alami, utawi namung damelan manungsa. Satunggiling matématikawan Benjamin Peirce nyebat matématika minangka "èlmu ingkang nggambaraken simpulan-simpulan ingkang wigatos". Ing pihak sanès, Albert Einstein nélakaken bilih "satebihipun ukum-ukum matématika ngrujuk dhumateng kasunyatan, sedaya wau mboten mesthi; lan satebihipun sedaya wau mesthi, sedaya wau mboten ngrujuk dhumateng kasunyatan."

Liwat panggunaan panalaran logika lan abstraksi, matématika ngrembaka saking pancacahan, pangétangan, pangukuran, lan pangkajian sistematis dhumateng bangun lan pagerakan bendha-bendha fisika. Matématika praktis sampun dados kagiyatan manungsa wiwit wontenipun rekaman kaserat. Argumèntasi kaku sepindhah muncul ing salebetipun Matématika Yunani, utaminipun ing salebetipun karya Euklides, Èlemèn. Matématika tansah ngrembaka, upaminipun ing Cina nalika taun 300 SM, ing India nalika taun 100 M, lan ing Arab nalika taun 800 M, dumugi jaman Rénaisans, nalika pamanggihan énggal matématika silih interaksi kaliyan pamanggihan èlmiah énggal ingkang ngarah dhumateng paningkatan ingkang cepet ing salebetipun laju pamanggihan matématika ingkang teras dumugi sepriki.

Sapuniki, matématika dipungunakaken ing saindhenging donya minangka alat wigatos ing manéka bidhang, kalebet èlmu alam, tèknik, kadhokteran/mèdhis, lan èlmu sosial kadosta ékonomi, lan psikologi. Matématika terapan, cabang matématika ingkang nglingkupi panerapan pangertosan matématika dhumateng bidhang-bidhang sanès, ngilhami lan damel panggunaan pamanggihan-pamanggihan matématika énggal, lan sok-sok ngarah dhumateng pangembangan dhisiplin-dhisiplin èlmu ingkang sapenuhipun énggal, kadosta statistika lan téori permainan. Para matématikawan ugi sinau ing salebetipun matématika murni, utawi matématika kanggé pakembangan matématika puniku piyambak, tanpa wontenipun panerapan ing salebetipun pikiran, senadyan panerapan praktis ingkang dados latar munculipun matématika murni kasunyatanipun asring dipunpanggihaken ing tembé wingking.

Etimologi

Tembung "matématika" asalipun saking basa Yunani Kuna μάθημα (máthēma), ingkang tegesipun pangkajian, panyinaonan, èlmu, ingkang ruwang lingkupipun saya ciut, lan teges tèknisipun dados "pangkajian matématika", malah mekaten ugi ing jaman kuna. Tembung sifatipun inggih punika μαθηματικός (mathēmatikós), gegandhèngan kaliyan pangkajian, utawi sregep sinau, ingkang langkung lebet tegesipun matématis. Sacara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), ing salebetipun basa Latin ars mathematica, tegesipun seni matématika.

Wangun jamak asring dipunginakaken salebetipun basa Inggris, kadosta ugi ing salebetipun basa Prancis les mathématiques (lan arang dipunginakaken minangka turunan wangun tunggal la mathématique), ngrujuk dhumateng wangun jamak basa Latin ingkang langkung nétral mathematica (Cicero), adhedhasar wangun jamak basa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), ingkang dipunginakaken Aristotle, ingkang pertalan kasaripun ateges "sedaya perkawis ingkang matématis". Nanging, salebetipun basa Inggris, tembung bendha mathematics mundhut wangun tunggal menawi dipungunakaken minangka tembung kerja. Salebetipun ragam pirembagan, matématika asring dipunsingkat minangka math ing Amérika Lèr lan maths ing papan sanès.

Sajarah

Satunggiling quipu, ingkang dipungunakaken déning Inca kanggé nyathetaken wilangan.

Évolusi matématika sok-sok dipunpirsani minangka sadhèrètan abstraksi ingkang tansah tambah kathah, utawi tembung sanèsipun pawiyaran pokok masalah. Abstraksi awal, ingkang ugi lumampah dhumateng kathah kéwan, inggih punika perkawis wilangan: pranyatan bilih kalih apel lan kalih jeruk (minangka conto) gadhah gunggung ingkang sami.

Sasanèsipun mangertosi cara nyacah objèk-objèk fisika, manungsa prasajarah ugi nepangi cara nyacah besaran abstrak, kadosta wekdal — dinten, mangsa, taun. Aritmétika dhasar (lan, suda, ping, lan para) numuti sacara alami.

Lampah salajengipun mbetahaken panyeratan utawi sistem sanès kanggé nyathetaken wilangan, upaminipun tali utawi senar mawi simpul ingkang dipunsebat quipu dipungunakaken déning bangsa Inca kanggé nyimpen data numerik. Sistem wilangan wonten kathah lan manéka jinisipun, wilangan kaserat ingkang sepindhah dipunkawruhi wonten ing salebetipun naskah warisan Mesir Kuna ing Karajan Tengah Mesir, Lembaran Matématika Rhind.

Sistem wilangan Maya

Panggunaan matématika paling kuna inggih punika ing salebetipun padagangan, pangukuran siti, panglukisan, lan pola-pola panenunan lan panyathetan wekdal lan mboten naté ngrembaka wiyar dumugi taun 3000 SM mangajeng nalika tiyang Babilonia lan Mesir Kuna wiwit migunakaken aritmétika, aljabar, lan géomètri kanggé pangétangan pajek lan urusan kauangan sanèsipun, bangunan lan konstruksi, lan astronomi. Pangkajian matématika ingkang sistematis ing salebetipun kaleresnipun piyambak dipunwiwiti nalika jaman Yunani Kuna antawis taun 600 lan 300 SM.

Matématika wiwit wekdal puniku lajeng mawiyar, lan wonten interaksi migunani antawisipun matématika lan sains, nguntungaken kekalih pihak. Pamanggihan-pamanggihan matématika dipundamel salaminipun sajarah lan lumampah teras dumugi sapuniki. Miturut Mikhail B. Sevryuk, ing wulan Januari 2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, "kathahipun makalah lan buku ingkang dipunlibataken ing salebetipun basis data Mathematical Reviews wiwit taun 1940 (taun sepindhahipun operasinipun MR) sapuniki nglangkungi 1,9 yuta, lan nglangkungi 75 éwu artikel dipuntambahaken dhumateng basis data puniku saben taun. Sebagéyan ageng karya ing samudra puniki isinipun téoréma matématika énggal sarta bukti-buktinipun."

Ilham, matématika murni lan terapan, lan èstètika

Sir Isaac Newton (1643-1727), satunggaling pamanggih kalkulus infinitesimal.

Matematika muncul nalika ngadhepi masalah-masalah ingkang rumit ingkang nglibataken kuantitas, struktur, ruwang, utawi éwah-éwahan. Awalipun masalah-masalah puniku dipunpanggihi ing salebetipun padagangan, pangukuran siti, lan salajengipun astronomi; sapuniki, sedaya èlmu pangertosan nganjuraken masalah-masalah ingkang dipunkaji déning para matématikawan, lan kathah masalah ingkang muncul ing salebetipun matématika puniku piyambak. Upaminipun, satunggiling fisikawan Richard Feynman manggihaken rumus integral lintasan mékanika kuantum migunakaken gabungan nalar matématika lan wawasan fisika, lan téori senar wekdal sapuniki, téori èlmiah ingkang tasih ngrembaka ingkang kagungan upados manunggalaken sekawan gaya dhasar alami, teras kémawon ngilhami matématika énggal. Sapérangan matématika namung silih selaras ing salebetipun wilayah ingkang ngilhami piyambakipun, lan dipuntrepaken kanggé mecahaken masalah lajengan ing wilayah puniku. Nanging asring ugi matématika dipunilhami déning bukti-bukti ing satunggiling wilayah pranyata gadhah mupangat ugi ing kathah wilayah sanèsipun, lan nggabungaken cawisan umum konsèp-konsèp matématika. Fakta ingkang ngédab-édabi bilih matématika "paling murni" asring malih dados gadhah patrapan praktis inggih punika ingkang Eugene Wigner sebat minangka "Kambotenèfèktifan Matématika mboten kanalar ing salebetipun Èlmu Pangertosan Alam".

Kados ing sebagéyan ageng wilayah pangkajian, jeblugan pengertosan ing jaman èlmiah sampun ngarah dhumateng pangususan ing salebetipun matématika. Setunggal prabèntenan utami inggih punika ing antawisipun matématika murni lan matématika terapan: sebagéyan ageng matématikawan musataken panlitènipun namung ing setunggal wilayah puniki, lan sok-sok pilihan puniki dipundamel saawal pakuliahan program sarjananipun. Sapérangan wilayah matématika terapan sampun dipungabungaken kaliyan tradhisi-tradhisi ingkang silih selaras ing sanjawinipun matématika lan dados dhisiplin ingkang gadhah hak piyambak, kalebet statistika, risèt oprasi, lan èlmu komputer.

Tiyang ingkang gadhah minat dhumateng matématika asring ugi manggihi satunggiling aspèk èstètika tinentu ing kathah matématika. Kathah matématikawan pirembagan perkawis kaanggunan matématika, èstètika ingkang kasirat, lan kaéndahan saking lebetipun. Kaprasajanan lan kaumumanipun dipunregani. Wonten kaéndahan ing salebetipun kaprasajanan lan kaanggunan bukti ingkang dipunparingaken, upaminipun bukti Euclid inggih punika bilih wonten mboten-kakinten kathahipun wilangan prima, lan ing salebetipun métodhe numerik ingkang anggun bilih pangétangan laju, inggih punika transformasi Fourier cepet. G. H. Hardy ing salebetipun A Mathematician's Apology ndungkapaken kapitadosan bilih panganggepan èstètika puniki, ing lebetipun piyambak, cekap kanggé nyengkuyung pangkajian matématika murni. Para matématikawan asring nyambut damel awrat manggihaken bukti téoréma ingkang anggun sacara khusus, pamadosan Paul Erdős asring nggulet ing satunggil jinis pamadosan akar saking "Alkitab" ing pundi Gusti sampun nyerataken bukti-bukti karemenanipun. Kapopulèran matématika rékréasi inggih punika tetenger sanès bilih kabingahan kathah dipunpanggihi nalika satunggiling tiyang saged mecahaken soal-soal matématika.

Notasi, basa, lan kakakuan

Leonhard Euler. Menawi satunggiling matématikawan ingkang paling kathah ngasilaken temuan sapanjangipun wekdal

Sebagéyan ageng notasi matématika ingkang dipungunakaken sapuniki mboten dipunpanggihaken dumugi abad ka-16. Nalika abad ka-18, Euler gadhah tanggel waler dhumateng kathah notasi ingkang dipungunakaken sapuniki. Notasi modhèrn damel matématika langkung gampil kanggé para profésional, nanging para pamula asring manggihaken minangka satunggaling perkawis ingkang ngajrihi. Dumados pamadhetan ingkang langkung sanget: sakedhik lambang gadhah isi informasi ingkang sugih. Kados notasi musik, notasi matématika modhèrn gadhah tata ukara ingkang kaku lan ndadosaken informasi ingkang mbok menawi awrat menawi dipunserataken miturut cara sanès.

Basa matématika saged ugi gadhah kesan awrat kanggé para pamula. Tembung-tembung kados utawi lan namung gadhah teges ingkang langkung présisi tinimbang ing salebetipun pirembagan sadinten-dinten. Sasanèsipun puniku, tembung-tembung kadosta kabikak lan lapangan maringaken teges khusus matématika. Jargon matématika kalebet istilah-istilah tèknis kadosta homomorfisme lan kaintegralaken. Nanging wonten alasan kanggé notasi khusus lan jargon tèknis puniki: matématika mbetahaken présisi ingkang langkung saking sadrema pirembakan sedinten-dinten. Para matématikawan nyebat présisi basa lan logika puniki minangka "kaku" (rigor).

Lambang kambotenkintenan ∞ ing sapérangan gaya sajian.

Kaku sacara dhasar inggih punika perkawis bukti matématika. Para matématikawan kepéngin téorémanipun numuti aksioma-aksioma kanthi maksud panalaran ingkang sistematik. Puniki kanggé nyegah "téoréma" ingkang salah pundhut, dipundhasaraken dhumateng pradugi kagagalan, ing pundi kathah conto naté muncul ing salebetipun sajarah subjèk puniki. Tingkat kakakuan dipunajengaken ing salebetipun matématika tansah éwah sapanjangipun wekdal: bangsa Yunani ménginaken dalil ingkang kaprincèn, nanging ing wekdal puniku métode ingkang dipungunakaken Isaac Newton kirang kaku. Masalah ingkang nèmpèl ing dhéfinisi-dhéfinisi ingkang dipungunakaken Newton bakal ngarah dhumateng munculipun analisis saksama lan bukti formal ing abad ka-19. Sapuniki, para matématikawan tasih teras adu argumèntasi perkawis bukti mawi bantuan-komputer. Amargi pangétangan ageng awrat sanget dipunpriksa, bukti-bukti puniku mbok menawi kémawon mboten cekap kaku.

Aksioma miturut pamikiran tradhisional inggih punika "kaleresan ingkang dados bukti mekaten kémawon", nanging konsèp puniki micu pasoalan. Ing tingkatan formal, satunggiling aksioma punika namung satunggal ler senar lambang, ingkang namung gadhah makna kasirat ing salebetipun kontèks sedaya rumus ingkang katurunaken saking satunggiling sistem aksioma. Puniki arupi tujuan program Hilbert kanggé nyèlèhaken sedaya matématika ing satunggiling basis aksioma ingkang kokoh, nanging miturut Téoréma kambotenjangkepan Gödel saben-saben sistem aksioma (ingkang cekap kiyat) gadhah rumus-rumus ingkang mboten saged dipuntemtokaken; lan mila satunggiling aksiomatisasi pungkasan ing salebetipun matématika punika mokal. Senadyan mekaten, matématika asring dipunbayangaken (ing salebetipun kontèks formal) mboten sanès kejawi téori himpunan ing sapérangan aksiomatisasi, kanthi pangertosan bilih saben-saben pranyatan utawi bukti matématika saged dipunkemas dhumateng salebetipun rumus-rumus téori himpunan.

Matématika minangka èlmu pangertosan

Carl Friedrich Gauss, nganggep piyambakipun minangka "pangéranipun para matématikawan", lan nélakaken matématika minangka "Ratunipun Èlmu Pangertosan".

Carl Friedrich Gauss nélakaken matématika minangka "Ratunipun Èlmu Pangertosan". Ing salebetipun basa aslinipun, Latin Regina Scientiarum, ugi ing salebeting basa Jerman Königin der Wissenschaften, tembung ingkang selaras kaliyan èlmu pangertosan ateges (lapangan) pangertosan. Cetha, puniki ugi teges asli ing salebeting basa Inggris, lan mboten wonten keraguan bilih matématika ing salebetipun kontèks puniki inggih punika satunggiling èlmu pangertosan. Pangususan ingkang nyiutaken makna dados èlmu pangertosan alam inggih punika ing tembé wingking. Menawi satunggiling tiyang mriksani èlmu pangertosan namung winates ing donya fisika, mila matématika, utawi sakirang-kirangipun matématika murni, sanès èlmu pangertosan. Albert Einstein nélakaken bilih "satebihipun hukum-hukum matématika ngrujuk dhumateng kasunyatan, mila sadaya puniku mboten mesthi; lan satebihipun sedaya puniku mesthi, sedaya puniku mboten ngrujuk dhumateng kasunyatan."

Kathah filsuf yakin bilih matématika mboten kapalsukaken adhedhasar pacobèn, lan kanthi mekaten sanès èlmu pangertosan per définisi Karl Popper. Nanging, ing salebetipun karya wigatos taun 1930-an perkawis logika matématika nedhaken bilih matématika mboten saged dipunrédhuksi dados logika, lan Karl Popper nyimpulaken bilih "sebagéyan ageng téori matématika, kados déné fisika lan biologi, inggih punika hipotetis-deduktif: mila matématika mdados langkung caket dhumateng èlmu pangertosan alam ingkang hipotesis-hipotesisipun inggih punika konjektur (kintenan), langkung tinimbang minangka perkawis ingkang énggal." Para bijak bestari sanèsipun, sebat kémawon Imre Lakatos, sampun nerapaken setunggal vèrsi pamalsuan dhumateng matématika puniku piyambak.

Satunggiling tinjauan alternatif inggih punika bilih lapangan-lapangan èlmiah tinentu (upaminipun fisika téorètis) inggih punika matématika kanthi aksioma-aksioma ingkang dipuntujokaken kados mekaten saéngga silih selaras kaliyan kasunyatan. Faktanipun, satunggiling fisikawan téorètis, J. M. Ziman, ngajengaken pendhapat bilih èlmu pangertosan inggih punika pangertosan umum lan kanthi mekaten matématika kalebet ing salebetipun. Ing sapérangan kasus, matématika kathah silih dundum kaliyan èlmu pangertosan fisika, sebat kémawon pangedhukan akibat-akibat logis saking sapérangan anggapan. Intuisi lan pacobèn ugi gadhah peran wigatos ing salebetipun parumusan konjektur-konjektur, ing matématika, ugi ing èlmu-èlmu pangertosan (sanèsipun). Matématika pacobèn teras tuwuh ngrembaka, ngèlingi kapentinganipun ing salebetipun matématika, salajengipun komputasi lan simulasi mainaken peran ingkang tansaya kiyat, ing èlmu pangertosan, ugi ing matématika, nglemahaken objèksi ing pundi matématika mboten migunakaken métode èlmiah. Ing salebetipun bukunipun ingkang dipunterbitaken taun 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram gadhah dalil bilih matématika komputasi pantes kanggé dipunkedhuk sacara empirik minangka lapangan èlmiah ing salebetipun hakipun/kaleresanipun piyambak.

Pendhapat-pendhapat para matématikawan dhumateng perkawis puniki manéka macem. Kathah matématikawan rumaos bilih kanggé nyebat wilayahipun minangka èlmu pangertosan sami kémawon kaliyan mandhapaken kadhar kapentingan sisih èstètikanipun, lan sajarahipun ing salebeting pitu seni liberal tradhisional; ingkang sanèsipun rumaos bilih pangabaian pranala puniki dhumateng èlmu pangertosan sami kémawon kaliyan muter-muter paningal ingkang wuta dhumateng fakta bilih antarslira antawisipun matématika lan panerapanipun ing salebetipun èlmu pangertosan lan rékayasa sampun ngemudhiaken kathah pangembangan ing salebetipun matématika. Satunggal dalan ingkang dipunmainaken déning prabédan pojok paningalan puniki inggih punika ing salebetipun pirembagan filsafat punapa matématika dipunripta (kados ing salebetipun seni) utawi dipunpanggihaken (kados ing salebetipun èlmu pangertosan). Punika wajar kanggé univèrsitas menawi dipunpérang dhumateng salebetipun bagéyan-bagéyan ingkang nganthèkaken départemèn Èlmu Pangertosan lan Matématika, puniki nedahaken bilih lapangan-lapangan puniku dipunpriksani gadhah sekutu nanging lapangan-lapangan puniku mboten kados kalih sisih keping dhuwit logam. Ing tataran praktisipun, para matématikawan biasanipun dipunklompokaken bebarengan para èlmuwan ing tingkatan kasar, nanging dipunpisahaken ing tingkatan akir. Puniki arupi salah satunggil saking kathah perkawis ingkang dipunwigatosaken ing salebetipun filsafat matématika.

Bebungah matématika umumipun dipunpiara supados tetep kapisah saking kasetaraanipun kaliyan èlmu pangertosan. Bebungah ingkang adiluhung ing salebetipun matématika inggih punika Fields Medal (medhali lapangan), dipunwiwitaken taun 1936 lan sapuniki dipunslenggarakaken saben sekawan taunan. Bebungah puniki asring dipunanggep setara kaliyan Bebungah Nobel èlmu pangertosan. Wolf Prize in Mathematics, dipunlembagaaken taun 1978, ngakeni mangsa prèstasi, lan bebungah internasional utami sanèsipun, Bebungah Abel, dipuntepangaken taun 2003. Puniki dipunanugerahaken kanggé ruas khusus karya, saged arupi pangénggalan, utawi pangrampungan masalah ingkang misuwur ing saebetipun lapangan ingkang mapan. Satunggiling dhaftar misuwur kanthi isi 23 masalah kabikak, ingkang dipunsebat "masalah Hilbert", dipunkempalaken taun 1900 déning matématikawan Jerman David Hilbert. Dhaftar puniki nggayuh pasulangan ingkang ageng ing antawisipun para matématikawan, lan paling sekedhik sanga saking masalah-masalah puniku sapuniki kapecahaken. Satunggiling dhaftar énggal kanthi isi pitu masalah wigatos, asesirah "Masalah Bebungah Milenium", dipunterbitaken taun 2000. Pamecahan saben masalah puniki bebungahipun US$ 1 yuta, lan namung setunggal (hipotésis Riemann) ingkang ngalami panggandhaan ing salebetipun masalah-masalah Hilbert.

Babagan-babagan matématika

Satunggiling sempoa, alat étung prasaja ingkang dipungunakaken wiwit jaman kuna.

Dhisiplin-dhisiplin utami ing salebetipun matématika sepindhahipun muncul amargi kabetahan dhumateng pangétangan ing salebetipun padagangan, kanggé mahami gegayutan antarwilangan, kanggé ngukur siti, lan kanggé ngramal prastawa astronomi. Sekawan kabetahan puniki sacara kasar saged dipunkaitaken kaliyan pamérangan-pamérangan kasar matématika dhumateng salebeting pangkajian besaran, struktur, ruwang, lan éwah-éwahan (inggih punika aritmetika, aljabar, géomètri, lan analisis). Sasanèsipun pokok bahasan puniku, ugi wonten pamérangan-pamérangan ingkang dipunpisungsungaken kanggé pranala-pranala pangdhukan saking jantung matématika dhumateng lapangan-lapangan sanès: dhumateng logika, dhumateng téori himpunan (dhasar), dhumateng matématika èmpirik saking manéka jinis èlmu pangertosan (matématika terapan), lan ingkang langkung énggal inggih punika dhumateng pangkajian kaku tumrap kambotenmethinan.

Besaran

Pangkajian besaran dipunawali déning wilangan, sepindhah wilangan asli lan wilangan bulat ("sedaya wilangan") lan operasi aritmetika ing ruwang wilangan iku, sing dipunasifataken ing salebetipun aritmetika. Sifat-sifat ingkang langkung lebet saking wilangan bulat dipunkaji ing salebetipun téori wilangan, saking pundi dhatengipun asil-asil populèr kadosta Téoréma Pungkasan Fermat. Téori wilangan ugi nyepeng kalih masalah mboten kapecahaken: konjektur prima kembar lan konjektur Goldbach.

Amargi sistem wilangan dipunkembangaken langkung tebih, wilangan bulat dipunakeni minangka himpunan bagéyan saking wilangan rasional ("pecahan"). Sauntawis wilangan pecahan wonten ing salebetipun wilangan réal, ingkang dipungunakaken kanggé nyawisaken besaran-besaran kontinu. Wilangan réal dipundadosaken umum dados wilangan komplèks. Puniki jangkahan sepindhah saking jenjang wilangan ingkang beranjak nganthèkaken kuarternion lan oktonion. Kawigatosan dhumateng wilangan asli ugi ngarah dhumateng wilangan transfinit, ingkang damel formalipun konsèp pancacahan kambotenkintenan. Wilayah sanès pangkajian puniki inggih punika ukuran, ingkang ngarah dhumateng wilangan kardinal lan salajengipun ing konsèpsi kambotenkintenan sanèsipun: wilangan aleph, ingkang mungkinaken pabandhingan gadhah makna perkawis ukuran himpunan-himpunan ageng kambotenkintenan.

$1,2,3\,\!$	$-2,-1,0,1,2\,\!$	$-2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!$	$-e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!$	$2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!$
Wilangan asli	Wilangan bulat	Wilangan rasional	Wilangan réal	Wilangan komplèks

Ruwang

Pangkajian ruwang awalipun mawi géomètri – khususipun, géomètri euclid. Trigonomètri madhuaken ruwang lan wilangan, lan nyakupi Téoréma pitagoras ingkang misuwur. Pangkajian modhèrn perkawis ruwang damel saya umum gagasan-gagasan puniki kanggé nganthèkaken géometri kanthi dimènsi langkung inggil, géomètri mboten-euclid (ingkang gadhah peran wigatos ing salebetipun rélativitas umum) lan topologi. Besaran lan ruwang gadhah peran wigatos ing salebetipun géomètri analitik, géomètri diferènsial, lan géomètri aljabar. Ing salebetipun géomètri diferènsial wonten konsèp-konsèp buntelan serat lan kalkulus lempitan. Ing salebetipun géomètri aljabar wonten panjlasan objèk-objèk géomètri minangka himpunan pangrampungan pepadhan polinom, madhuaken konsèp-konsèp besaran lan ruwang, lan ugi pangkajian grup topologi, ingkang madhuaken struktur lan ruwang. Grup lie biasa dipinpigunakaken kanggé ngkaji ruwang, struktur, lan éwah-éwahan. Topologi ing salebetipun kathah pacabanganipun mungkin dados wilayah patuwuhan paling ageng ing salebetipun matématika abad ka-20, lan nganthèkaken konjèktur poincaré ingkang sampun lami wonten lan téoréma sekawan werni, ingkang namung "kasil" dipunbuktèkaken mawi komputer, lan dèreng naté dipunbuktèkaken déning manungsa sacara manual.

Géomètri	Trigonomètri	Géomètri diferènsial	Topologi	Géomètri fraktal

Éwah-éwahan

Mahami lan njelasaken éwah-éwahan arupi téma biasa ing salebetipun èlmu pangertosan alam, lan kalkulus sampun ngrembaka minangka alat ingkang penuh-daya kanggé nylidhiki. Fungsi-fungsi muncul ing mriki, minangka konsèp wigatos kanggé njelasaken besaran ingkang éwah. Pangkajian kaku perkawis wilangan réal lan fungsi-fungsi mawi paéwah réal dipuntepangi minangka analisis réal, kanthi analisis komplèks lapangan ingkang setara kanggé wilangan komplèks. Hipotésis Riemann, salah satunggil masalah kabikak ingkang paling dhasar ing salebetipun matématika, dipunlukisaken saking analisis komplèks. Analisis fungsional musataken kawigatosan dhumateng ruwang fungsi (biasanipun kanthi dimènsi mboten-kaétang). Setunggil saking kathah terapan analisis fungsional inggih punika mékanika kuantum. Kathah masalah sacara alami ngarah dhumateng gegandhèngan antawisipun besaran lan laju éwah-éwahanipun, lan puniki dipunkaji minangka pepadhan diferènsial. Kathah gejala ing alam saged dipunjelasaken migunakaken sistem dinamika; téori kakacoan nambah tepat dalan-dalan ing pundi kathah sistem puniki mamèraken prilaku déterministik ingkang tasih kémawon dèrèng kakinten.

Kalkulus	Kalkulus vèktor	Pepadhan diferènsial	Sistem dinamika	Téori chaos	Analisis komplèks

Struktur

Kathah objèk matématika, saupami himpunan wilangan lan fungsi, mameraken struktur bagéyan lebet. Sifat-sifat struktural objèk-objèk puniki dipunslidhiki ing salebetipun pangkajian grup, glanggang, lapangan lan sistem abstrak sanèsipun, ingkang piyambakipun arupi objèk ugi. Puniki arupi lapangan aljabar abstrak. Satunggiling konsèp wigatos ing mriki inggih punika vèktor, dipun dadosaken umum dados ruwang vèktor, lan dipunkaji ing salebetipun aljabar linéar. Pangkajian vèktor madhuaken tiga wilayah dhasar matématika: besaran, struktur, lan ruwang. Kalkulus vèktor miyaraken lapangan puniku dhumateng salebetipun wilayah dhasar kasekawan, inggih punika éwah-éwahan. Kalkulus tensor ngkaji kasetangkupan lan prilaku vèktor ingkang dipunrotasi. Sapérangan masalah kuna perkawis Kompas lan konstruksi garis lurus pungkasanipun kapecahaken déning Téori galois.

Téori wilangan	Aljabar abstrak	Téori grup	Téori orde

Dhasar lan filsafat

Kanggé mriksa dhasar-dhasar matématika, lapangan logika matématika lan téori himpunan dipunkembangaken, ugi téori kategori ingkang tasih dipunkembangaken. Tembung majemuk "krisis dhasar" njelasaken pamadosan dhasar kaku kanggé matématika ingkang mundhut papan ing dasawarsa 1900-an dumugi 1930-an. Sapérangan kambotensarujukan ngenani dhasar-dhasar matématika teras lumampah dumugi sapuniki. Krisis dhasar dipunpicu déning sapérangan silang sengkéta ing wekdal puniku, kalebet kontrovèrsi téori himpunan Cantor lan kontrovèrsi Brouwer-Hilbert.

Logika matématika dipingatosaken kanthi mapanaken matématika ing satunggiling rangka kerja aksiomatis ingkang kaku, lan ngkaji asil-asil rangka kerja puniku. Logika matématika arupi griya kanggé Téori kambotenjangkepan kaping kalih Gödel, menawi asil ingkang paling dipunriyayakaken ing donya logika, ingkang (sacara informal) gadhah akibat bilih satunggiling sistem formal ingkang isinipun aritmetika dhasar, menawi swantun (maksudipun sedaya téoréma ingkang saged dipunbuktèkaken inggih punika leres), mila mboten-jangkep (maksudipun wonten téoréma sejatos ingkang mboten saged dipunbuktèkaken ing salebetipun sistem puniku). Gödel nedahaken cara ngonstruksi, sembarang kempalan aksioma wilangan téorètis ingkang dipunparingaken, satunggiling pranyatan formal ing salebetipun logika inggih punika satunggiling wilangan sejatos-satunggiling kasunyatan téorètik, nanging mboten numuti aksioma-aksioma puniku. Mila, mboten wonten sistem formal ingkang arupi aksiomatisasi sejatos téori wilangan sapenuhipun. Logika modhèrn dipunpérang dhumateng salebetipun téori rekursi, téori modhèl, lan téori pambuktèn, lan magepokan caket kaliyan èlmu komputer téorètis.

$p\Rightarrow q\,$
Logika matématika	Téori himpunan	Téori kategori

Matématika diskrèt

Matématika diskrèt inggih punika nami jamak kanggé lapangan matématika ingkang paling migunani ing salebetipun èlmu komputer téoretis. Puniki ngathèkaken téori komputabilitas, téori komplèksitas komputasional, lan téori informasi. Téori komputabilitas mriksa watesan-watesan manéka modhèl téoretis komputer, kalebet modhèl ingkang dipuntepangi paling gadhah daya - Mesin turing. Téori komplèksitas inggih punika pangkajian traktabilitas déning komputer; sapérangan masalah, senadyan sacara téoretis karampungaken déning komputer, nanging cekap awis miturut kontèks wekdal lan ruwang, mboten saged dipundamel sacara praktis, malah kanthi cepetipun kamajengan piranti atos komputer. Pungkasanipun, téori informasi musataken kawigatosan dhumateng kathahipun data ingkang saged dipunsimpen ing médhia ingkang dipuparingaken, lan mila sesambetan kaliyan konsèp-konsèp saupami pamadhetan lan éntropi.

Minangka lapangan ingkang rélatif énggal, matématika diskrèt gadhah sapérangan masalah kabikak ingkang kalebet masalah dhasar. Ingkang paling misuwur inggih punika masalah "P=NP?", salah satunggil Masalah Hadhiah Milenium.

${\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}$
Kombinatorika	Téori komputasi	Kriptografi	Téori graf

Matématika terapan

Matématika terapan sesambetan kaliyan panggunaan alat matématika abstrak kanggé mecahaken masalah-masalah konkrèt ing salebetipun èlmu pangertosan, bisnis, lan wilayah sanèsipun. Satunggiling lapangan wigatos ing salebetipun matématika terapan inggih punika statistika, ingkang migunakaken téori peluang minangka alat lan marengaken panjlasan, analisis, lan paramalan gejala ing pundi peluang gadhah peran wigatos. Sebagéyan ageng pacobèn, survey, lan pangkajian pangamatan mbetahaken statistika. (Nanging kathah statistikawan, mboten nganggep piyambakipun minangka matématikawan, ananging minangka klompok sekutu.) Analisis numerik nylidhiki métode komputasional kanggé mecahaken masalah-masalah matématika sacara èfisièn ingkang biasanipun kalangkung amba kanggé kapasitas numerik manungsa; analisis numerik nglibataken pangkajian galat pamotongan utawi sumber-sumber galat sanès ing salebetipun komputasi.

• 
  Fisika matématika
• 
  Mékanika fluida
• 
  Analisis numerik
• 
  Optimisasi
• 
  Téori peluang
• 
  Statistika
• 
  Matématika kauangan
• 
  Téori permainan
• 
  Biologi matématika
• 
  Kimia matématika
• 
  Ékonomi matématika
• 
  Téori kontrol

Pipalanda

Pipalanda punika akronim, cekakan saking tembung ping, para, lan lan suda. Tembung-tembung wau arupi sekawan saking operasi matématika dhasar wonten ing aritmatika ingkang asring kaanggé sadinten-dinten. Urutanipun kedah kados makaten, dados manawi wonten operasi matématika ingkang arupi gabungan kedah dipun urut ping-pingan utawi paran lajeng panambahan utawi pangirangan.

• ping (tandha x ) inggih punika operasi matématika kanggé ngepingaken (penskalaan satungan wilangan kaliyan wilangan sanèsipun.
• para (tandha : ) inggih punika operasi matématika ingkang mbagi satunggiling wilangan kaliyan wilangan sanèsipun.
• lan (tandha + ) inggih punika operasi matématika kanggé nambah satunggiling wilangan kaliyan wilangan sanèsipun.
• suda (tandha - ) inggih punika operasi matématika kanggé nyuda satunggiling wilangan kaliyan wilangan sanèsipun.

Urutan salebeting ngayahi operasi matématika ingkang langkung pepak inggih punika dipunwiwiti wilangan ingkang wonten ing salebeting tandha kurung: () lan ingkang wonten ing salebeting tandha kurung kurawal : {}, dipunlajengaken urutan ping para lan suda.

Tuladha: {(10+2X3- 6:2) + (9-4:2+5X1)}

Étangan dipunwiwiti kanthi ngétang sacara urut kados kasebat ing ngandhap punika

• Salebeting tandha kurung ingkang kaping sepindhah:
  • 2X3=6 (ping)
  • 6:2=3 (para)
  • 10+6=16 (lan)
  • 16-3=13 (suda)
• Salebeting tandha kurung ingkang kaping kalih:
  • 5X1=5 (ping)
  • 4:2=2 (para)
  • 2+5=7 (lan)
  • 9-7=2 (suda)
• Étangan pungkasan, asil saking étangan ing salebeting tandha kurung sepindhah dipuntambah asil operasi matématika ing tandha kurung kaping kalih, dados: 13 + 2 = 15

Pirsani ugi

• Dhaftar simbol matématika
• Dhéfinisi matématika
• Dyscalculia
• Dhaftar topik matématika dhasar
• Dhaftar topik matématika
• Mathematical anxiety
• Permainan matématis
• Modhèl matématika
• Masalah matématika
• Struktur matématika
• Matématika lan seni
• Lomba matématika
• Pendhidhikan matématika
• Portal Matématika
• Pola
• Filsafat matématika
• Abacus
• Balung Napier, Jangka sorong
• Garisan lan Kompas
• Pètungan biasa
• Kalkulator lan komputer
• Basa pamrograman
• Sistem komputer aljabar
• Notasi prasaja Internèt
• Analisis statistik piranti alus
  • SPSS
  • SAS
  • R

Pranala njawi

• Preceptorial Kumpulan matéri lan soal matématika SD, SMP, SMA
• Sajarah Matématika
• Buku-buku matématika bébas Kumpulan buku matématika bébas.
• Panerapan Aljabar SMA
• Encyclopaedia of Mathematics ensiklopedia online saking Springer, Karya réferènsi pascasarjana kanthi langkung saking 8.000 irah-irahan, nyerahaken mèh 50.000 gagasan ing salebetipun matématika.
• Situs HyperMath ing Georgia State University
• Perpustakaan FreeScience Bagéyan matématika saking perpustakaan FreeScience
• Rusin, Dave: The Mathematical Atlas. Panduan wisata liwat manéka jinis matématika modhèrn. (Ugi saged dipunpanggihaken ing mriki.)
• Polyanin, Andrei: EqWorld: The World of Mathematical Equations. Satunggaling sumber online ingkang musataken kawigatosan dhumateng fisika matématika aljabar, diferensial biasa, diferensial parsial, integral, lan pepadhan-pepadhan matématika sanèsipun.
• Cain, George: Buku tèks Matématika Online sumadiya online sacara bébas.
• Matématika lan Logika: Saarah matématika formal, gagasan-gagasan logis, linguistik, lan métodologis. Ing salebetipun Kamus Sajarah Gagasan.
• Riwayat Gesang Matématikawan. Arsip Sajarah Matématika MacTutor sajarah èkstènsif lan kutipan saking matématikawan misuwur.
• Metamath. Satunggiling situs lan satunggiling basa, ingkang damel formal matématika saking dhasar-dhasaripun.
• Nrich, satunggiling situs panampi bebungah kanggé para siswa kanthi yuswa wiwit gangsal taun saking Universitas Cambridge
• Taman Masalah Terbuka, satunggiling wiki saking masalah matématika kabikak
• Planet Math. Satunggiling ensiklopedia matématika online ingkang tasih dipunbangun, musataken kawigatosan dhumateng matématika modhèrn. Migunakaken GFDL, mungkinaken silih gentos artikel kaliyan Wikipédia. Migunakaken pamrograman TeX.
• Sapérangan aplet matématika, ing MIT
• Weisstein, Eric et al.: MathWorld: World of Mathematics. Satunggiling ensiklopédia online matématika.
• Patrick Jones' Tutorial Video perkawis Matématika