Kalkulus

Saka Wikipédia, Bauwarna Mardika abasa Jawa / Saking Wikipédia, Bauwarna Mardika abasa Jawi
Langsung menyang: pandhu arah, pados
Topik jroning kalkulus

Téoréma dhasar
Limit fungsi
Kakontinuan
Kalkulus vèktor
Kalkulus matriks
Téoréma pangaji purata

Turunan

Kaidah darab
Kaidah asil-bagi
Kaidah ranté
Turunan implisit
Téoréma Taylor
Laju silih gegandhèngan
Tabèl turunan

Integral

Tabel integral
Integral ora wajar
Pangintegralan mawa:
bagéyan per bagéyan, cakram, silindher, substitusi,
substitusi trigonomètri,
pecahan parsial

Kalkulus (basa Latin: calculus, tegesé "watu cilik", kanggo ngétung) iku cabang èlmu matématika sing nyakup limit, turunan, integral, lan dhèrèt ora kakira étungané. Kalkulus iku èlmu ngenani owah-owahan, kayadéné géometri iku èlmu ngenani wangun lan aljabar iku èlmu ngenani panggarapkan kanggo mecahaké pepadhan sarta aplikasiné. Kalkulus dikembangké saka aljabar lan geometri. Kalkulus utamané nyinaoni sing ana hubungané karo laju utawa tingkat pagerakan, misalé percepatan, kurva, lan kamiringan. Kalkulus duwé aplikasi sing wiyar jroning babagan-babagan sains, ékonomi, lan tèknik; sarta bisa mecahaké manéka masalah sing ora bisa dipecahaké mawa aljabar èlemèntèr.

Dhasar kalkulus yaiku turunan, integral, lan limit. Salah sawijining tujuan utama perkembangan kalkulus yaiku kanggo pamecahan masalah garis singgung.

Kalkulus duwé rong cabang utama, kalkulus diferensial lan kalkulus integral sing silih gegandhèngan liwat téoréma dhasar kalkulus. Pelajaran kalkulus iku lawang gerbang nuju pelajaran matématika liyané sing luwih dhuwur, sing khusus nyinaoni fungsi lan limit, sing sacara umum dijenengi analisis matématika.

Perkembangan kalkulus utamané didhukung déning Archimedes, Leibniz, Newton, Barrow, Descartes, de Fermat, Huygens, lan Wallis.

Sajarah[sunting | sunting sumber]

Sir Isaac Newton iku salah sawijining panemu lan kontributor kalkulus sing misuwur.
Gottfried Wilhelm Leibniz ing awalé ditutuh njiplak saka asil kerja Sir Isaac Newton sing ora dipublikasikaké, nanging saiki dianggep minangka kontributor kalkulus sing asil kerjané dilakokaké sacara kapisah.

Perkembangan[sunting | sunting sumber]

Artikel utama: Sajarah kalkulus

Sajarah perkembangan kalkulus bisa dideleng ing sapérangan périodhe jaman, yaiku jaman kuna, jaman patengahan, lan jaman modhèrn. Ing périodhe jaman kuna, sapérangan pamikiran ngenani kalkulus integral wis mijil, nanging ora dikembangaké kanthi becik lan sistematis. Pangétungan volume lan wiyar sing arupa fungsi utama saka kalkulus integral bisa ditlusuri manèh ing Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Ing papirus kasebut, wong Mesir wis bisa ngétung volume piramida kapancung.[1] Archimedes ngembangaké pamikiran iki luwih adoh lan ngripta heuristik sing mèmper kalkulus integral.[2]

Nalika jaman patengahan, matématikawan India, Aryabhata, migunakaké konsèp cilik ora kaétung nalika taun 499 lan ngèksprèsikaké masalah astronomi jroning wangun pepadhan diferensial dhasar.[3] Pepadhan iki banjur ngeteraké Bhāskara II ing abad ka-12 kanggo ngembangaké wangun awal turunan sing makili owah-owahan sing cilik banget ora kaétung lan njelasaké wangun awal saka "Téoréma Rolle".[4] Watara taun 1000, matématikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) dadi wong pisanan sing ngedhunaké rumus pangétungan asil gunggung pangkat papat, lan kanthi migunakaké indhuksi matématika, panjenengané ngembangaké sawijining métodhe kanggo ngedhunaké rumus umum saka asil pangkat integral sing wigati banget marang perkembangan kalkulus integral.[5] Nalika abad ka-12, sawijining wong Persia Sharaf al-Din al-Tusi nemokaké turunan saka fungsi kubik, sawijining asil sing wigati jroning kalkulus diferensial. [6] Nalika abad ka-14, Madhava, bebarengan karo matématikawan-astronom saka mazhab astronomi lan matématika Kerala, njelasaké kasus khusus saka dhèrèt Taylor[7], sing ditulisaké jroning tèks Yuktibhasa.[8][9][10]

Ing jaman modhèrn, panemon indhepèndhen dumadi nalika awal abad ka-17 ing Jepang déning matématikawan kayadéné Seki Kowa. Ing Éropah, sapérangan matématikawan kayadéné John Wallis lan Isaac Barrow mènèhaké terobosan jroning kalkulus. James Gregory mbuktèkaké sawijining kasus khusus saka téoréma dhasar kalkulus nalika taun 1668.

Leibniz lan Newton nyurung pamikiran-pamikiran iki bebarengan minangka sawijining kamanunggalan lan kaloro èlmuwan kasebut dianggep minangka panemu kalkulus sacara kapisah jroning wektu sing mèh bebarengan. Newton ngaplikasikaké kalkulus sacara umum menyang babagan fisika sauntara Leibniz ngembangaké notasi-notasi kalkulus sing akèh dipigunakaké saiki.

Nalika Newton lan Leibniz mublikasikaké asilé kanggo sepisanané, mijil kontrovèrsi ing antarané matématikawan ngenani endi sing luwih pantes kanggo nampa bebungah marang kerjané. Newton ngedhunaké asil kerjané luwih dhisik, nanging Leibniz sing pisanan mublikasikaké. Newton nutuh Leibniz nyolong pamikirané saka cathetan-cathetan sing ora dipublikasikaké, sing asring disilihaké Newton marang sapérangan anggota saka Royal Society.

Pamriksan sacara princi nuduhaké yèn kaloroné nyambut gawé sacara kapisah, kanthi Leibniz miwiti saka integral lan Newton saka turunan. Saiki, Newton lan Leibniz diwènèhi bebungah jroning ngembangaké kalkulus sacara kapisah. Leibniz sing mènèhi jeneng marang èlmu cabang matématika iki minangka kalkulus, sauntara Newton njenengi "The science of fluxions".

Wiwit wektu iku, akèh matématikawan sing mènèhaké kontribusi marang pangembangan luwih lanjut saka kalkulus.

Kalkulus dadi topik sing umum banget ing SMA lan univèrsitas jaman modhèrn. Matématikawan saindhenging donya terus mènèhaké kontribusi marang perkembangan kalkulus.[11]

Pangaruh wigati[sunting | sunting sumber]

Senajan sapérangan konsèp kalkulus wis dikembangaké luwih dhisik ing Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, lan Jepang, panggunaaan kalkulus modhèrn diwiwiti ing Éropah nalika abad ka-17 wektu Isaac Newton lan Gottfried Wilhelm Leibniz ngembangaké prinsip dhasar kalkulus. Asil kerjané banjur mènèhi pangaruh sing kuwat marang perkembangan fisika.

Aplikasi kalkulus diferensial ngliputi pangétungan kacepetan lan percepatan, kamiringan sawijining kurva, lan optimalisasi. Aplikasi saka kalkulus integral ngliputi pangétungan wiyar, volume, dawa busur, pusat massa, kerja, lan tekanan. Aplikasi luwih adoh ngliputi dhèrèt pangkat lan dhèrèt Fourier.

Kalkulus uga digunakaké kanggo éntuk pamahaman sing luwih rinci ngenani ruwang, wektu, lan obah (gerak). Sakwéné maabad-abad, para matématikawan lan filsuf ngupaya mecahaké paradhoks sing ngliputi pambagian wilangan karo nol utawa uga gunggung saka dhèrèt ora kaétung. Sawijining filsuf Yunani kuna mènèhaké sapérangan conto misuwur kayadéné paradhoks Zeno. Kalkulus mènèhaké solusi, utamané ing babagan limit lan dhèrèt ora kaétung, sing banjur kasil mecahaké paradhoks kasebut.

Prinsip-prinsip dhasar[sunting | sunting sumber]

Limit lan cilik ora kakira étungané[sunting | sunting sumber]

Artikel utama: Limit
Dhéfinisi limit: ditélakaké yèn limit f(x) nalika x nyeraki titik p iku L yèn kanggo saben wilangan ε > 0 apa waé, ana wilangan δ > 0, samengkono rupané:  0 < |x-p| <\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon

Kalkulus umumé dikembangaké kanthi manipulasi sapérangan kuantitas sing cilik banget. Objèk iki, sing bisa dilakokaké minangka angka, iku cilik banget. Sawijining wilangan dx sing ciliké ora kakira étungané bisa luwih gedhé tinimbang 0, nanging luwih cilik tinimbang wilangan apa waé ing dhèrèt 1, ½, ⅓, ... lan wilangan réal positif apa waé. Saben pangepingan karo cilik ora kakira étungané (infinitesimal) tetepa cilik ora kakira étungané, mawa tembung liya cilik ora kakira étungané ora nyukupi properti Archimedes. Saka pandelengan iki, kalkulus iku sakumpulan tèknik kanggo manipulasi cilik ora kakira étungané.

Nalika abad ka-19, konsèp cilik ora kakira étungané iki ditinggalaké amarga ora cukup tliti, suwaliké konsèp iki digantèkaké déning konsèp limit. Limit njelasaké pangaji sawijining fungsi ing pangaji input tinentu kanthi asil saka pangaji input paling cerak. Saka pandelengan iki, kalkulus iku sakumpulan tèknik manipulasi limit-limit tinentu. Sacara tliti, dhéfinisi limit sawijining fungsi yaiku:

Diwènèhaké fungsi f(x) sing kadhéfinisikaké ing interval ing sakupengé p, kejaba mungkin ing p iku dhéwé. Awaké dhéwé nelakaké yèn limit f(x) nalika x nyeraki p iku L, lan nulisaké:

\lim_{x \to p}{f(x)}=L

yèn, kanggo saben wilangan ε > 0, ana wilangan δ > 0 sing silih korèspondhèn karo dhèwèké samengkono rupané kanggo saben x:

 0 < |x-p| <\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon \,

Turunan[sunting | sunting sumber]

Artikel utama: Turunan
Grafik fungsi turunan.

Turunan saka sawijining fungsi makili owah-owahan sing cilik banget saka fungsi kasebut marang variabelé. Prosès nemokaké turunan saka sawijining fungsi diarani minangka pandiferensialan utawa uga diferensiasi.

Sacara matématis, turunan fungsi ƒ(x) marang variabel x iku ƒ′ sing pangajiné ing titik x yaiku:

f'(x)=\lim_{h \to 0}{f(x+h) - f(x)\over{h}} ,

kanthi sarat limit kasebut èksis. Yèn ƒ′ èksis ing titik x tinentu, awaké dhéwé bisa nélakaké yèn ƒ kadiferensialaké (duwé turunan) ing x, lan yèn ƒ′ èksis ing saben titik ing domain ƒ, awaké dhéwé sebut ƒ kadiferensialaké.

Yèn z = x + h, h = x - z, lan h nyeraki 0 yèn lan mung yèn z nyeraki x, mula dhéfinisi turunan ing ndhuwur bisa uga ditulis minangka:

f'(x)=\lim_{z \to x}{f(z) - f(x)\over{z-x}}


Gambar:Tangent derivative calculusdia.jpeg
Garis singgung ing (x, f(x)). Turunan f'(x) sawijining kurva ing sawijining titik yaiku kamiringan saka garis singgung sing nyinggung kurva ing titik kasebut.

Gatèkna menawa èksprèsi {f(x+h) - f(x)\over{h}} ing dhéfinisi turunan ing ndhuwur arupa gradièn saka garis sekan sing ngliwati titik (x,ƒ(x)) lan (x+h,ƒ(x)) ing kurva ƒ(x). Menawa awaké dhéwé njupuk limit h nyeraki 0, mula awaké dhéwé bakal éntuk kamiringan saka garis singgung sing nyinggung kurva ƒ(x) ing titik x. Iki ateges uga garis singgung sawijining kurva arupa limit saka garis sekan, semono uga turunan saka sawijining fungsi ƒ(x) arupa gradièn saka fungsi kasebut.

Minangka conto, kanggo nemokaké gradièn saka fungsi f(x)=x^2 ing titik (3,9):


\begin{align}
f'(3)&=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 9\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}}  \\
&=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\
&= 6 
\end{align}

Èlmu sing nyinaoni dhéfinisi, properti, lan aplikasi saka turunan utawa kamiringan saka sawijining grafik diarani kalkulus diferensial

Garis singgung minangka limit saka garis sekan. Turunan saka kurva f(x) ing sawijining titik yaiku kamiringan saka garis singgung sing nyinggung kurva ing titik kasebut. Kamiringan iki ditemtokaké kanthi migunakaké pangaji limit saka kamiringan garis sekan.

Notasi pandhiferènsialan[sunting | sunting sumber]

Ana manéka jenis notasi matématika sing bisa digunakaké kanggo nélakaké turunan, ngliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, lan notasi Euler.

Notasi Leibniz ditepungaké déning Gottfried Leibniz lan arupa salah siji notasi sing paling awal digunakaké. Iki asring digunakaké utamané nalika gegandhèngan antar y = ƒ(x) dideleng minangka gegandhèngan fungsional antarané variabel bébas karo variabel kaiket. Turunan saka fungsi kasebut marang x ditulis minangka:

\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),  utawa uga  \frac{d}{dx}f(x).

Notasi Lagrange ditepungaké déning Joseph Louis Lagrange lan arupa notasi sing paling asring digunakaké. Jroning notasi iki, turunan fungsi ƒ(x) ditulis minangka ƒ′(x) utawa uga mung ƒ′.

Notasi Newton, uga diarani minangka notasi titik, mapanaké titik ing sandhuwuré fungsi kanggo nengeri turunan. Yèn y = ƒ(t), mula \dot{y} makili turunan y marang t. Notasi iki mèh sacara èksklusif digunakaké kanggo nglambangaké turunan marang wektu. Notasi iki asring katon jroning babagan fisika lan babagan matématika sing gegandhèngan karo fisika.

Notasi Euler migunakaké operator diferensial D sing ditrapaké ing fungsi ƒ kanggo mènèhaké turunan pisanané Df. Yèn y = ƒ(x) iku variabel kaiket, mula asring x dilekataké marang D kanggo nglarifikasikaké kabébasan variabel x. Notasi Euler banjur ditulis minangka:

D_x y\,   atau   D_x f(x)\,.

Notasi Euler iki asring digunakaké jroning ngrampungaké pepadhan diferensial linear.

Notasi Leibniz Notasi Lagrange Notasi Newton Notasi Euler
Turunan ƒ(x) marang x \frac{d}{dx}f(x) ƒ′(x) \dot{y}
kanthi y = ƒ(x)
D_x f(x)\,

Integral[sunting | sunting sumber]

Artikel utama: Integral
Integral bisa dianggep minangka pétungan wiyar dhaérah ing ngisor kurva ƒ(x), antara loro titik a lan b.

Integral arupa sawijining objèk matématika sing bisa diinterpretasikaké minangka wiyar wilayah utawa uga generalisasi sawijining wilayah. Prosès nemokaké integral sawijining fungsi diarani minangka pangintegralan utawa uga integrasi. Integral dipérang dadi loro, yaiku: integral tinentu lan integral ora tentu. Notasi matématika sing digunakaké kanggo nélakaké integral yaiku \int \,, kayata huruf S sing manjang (S singkatan saka "Sum" sing tegesé panggunggungan).

Integral tinentu[sunting | sunting sumber]

Diwènèhaké sawijining fungsi ƒ mawa variabel réal x lan interval antara [a, b] ing garis réal, integral tinentu:

\int_a^b f(x)\,dx \, ,

sacara informal didhèfinisikaké minangka wiyar wilayah ing bidhang xy sing diwatesi déning kurva grafik ƒ, sumbu-x, lan garis vèrtikal x = a lan x = b.

Ing notasi integral ing ndhuwur: a iku wates ngisor lan b iku wates ndhuwur sing nemtokaké domain pangintegralan, ƒ yaiku integran sing bakal diévaluasi marang x ing interval [a,b], lan dx arupa variabel pangintegralan.

Bebarengan karo saya akèhé subinterval lan saya ciuté amba subinterval sing dijupuk, wiyar sakabèhing batangan bakal saya nyeraki wiyar dhaérah ing ngisor kurva.

Ana manéka jenis pandhefinisian formal integral tinentu, nanging sing paling umum digunakaké yaiku dhefinisi integral Riemann. Integral Rieman didhèfinisikaké minangka limit saka panggunggungan Riemann. Upamané awaké dhéwé arep golèk wiyar dhaérah sing diwatesi déning fungsi ƒ ing interval katutup [a,b]. Nalika nggolèki wiyar dhaérah kasebut, interval [a,b] bisa dipérang dadi akèh subinterval sing ambané ora kudu padha, lan awaké dhéwé milih sapérangan n-1 titik {x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a karo b saéngga njangkepi gegandhèngan:

 a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!

Himpunan  P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\, iku disebut minangka partisi [a,b], sing mbagi [a,b] dadi sapérangan n subinterval  [x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n] . Amba subinterval pisanan [x0,x1] dinyatakaké minangka Δx1, mangkono uga amba subinterval ka-i dinyatakaké minangka Δxi = xi - xi - 1. Ing saben subinterval iki dipilih sawijining titik sembarang lan ing subinterval ka-i kasebut dipilih titik sembarang ti. Mula ing saben subinterval bakal ana batangan pesagi dawa sing ambané Δx lan dhuwuré wiwit saka sumbu x tekan titik (ti, ƒ(ti)) ing kurva. Yèn awaké dhéwé ngétung wiyar saben batangan kasebut kanthi ngepingaké ƒ(ti)· Δxi lan nggunggungaké sakabèhing wiyar dhaérah batangan kasebut, awaké dhéwé bakal éntuk:

S_p = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i

Panggunggungan Sp diarani minangka panggunggungan Riemann kanggo ƒ ing interval [a,b]. Gatèkna yèn saya cilik subinterval partisi sing dijupuk, asil panggunggungan Riemann iki bakal saya nyeraki pangaji wiyar dhaérah sing dipénginaké. Yèn awaké dhéwé njupuk limit saka norma partisi \lVert P \rVert nyeraki nol, mula awaké dhéwé bakal éntuk wiyar dhaérah kasebut.

Sacara tliti, dhéfinisi integral tinentu minangka limit saka panggunggungan Riemann yaiku:

Diwènèhaké ƒ(x) minangka fungsi sing kadhéfinisikaké ing interval katutup [a,b]. Ditélakaké yèn wilangan I iku integral tinentu ƒ ing sadawané [a,b] lan yèn I iku limit saka panggunggungan Riemann \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i ing kahanan: Kanggo saben wilangan ε > 0 apa waé ana sawijining wilangan δ > 0 sing silih korèspondhènsi karo dhèwèké kanggo saben partisi P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \} ing sadawané [a,b] kanthi \lVert P \rVert < \delta lan pilihan ti apa waé ing [xk - 1, ti], awaké dhéwé éntuk

\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilon.

Sacara matématis bisa ditulisaké:

\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx

Yèn saben partisi duwé sapérangan n subinterval sing padha, mula amba Δx = (b-a)/n, saéngga pepadhan ing ndhuwur bisa uga ditulis minangka:

\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx

Limit iki mesthi dijupuk nalika norma partisi nyeraki nol lan gunggung subinterval sing ana nyraki ora kaétung akèhé.


Conto

Minangka conto, yèn awaké dhéwé arep ngétung integral tinentu \int_0^b x\, dx, yaiku golèk wiyar dhaérah A ing sangisoré kurva y=x ing interval [0,b], b>0, mula pangétungan integral tinentu \int_0^b x\, dx minangka limit saka panggunggungan Riemanné yaiku \lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i

Pamilihan partisi utawa titik ti sacara sembarang bakal ngasilaké pangaji sing padha sadawané norma partisi kasebut nyeraki nol. Yèn awaké dhéwé milih partisi P mbagi-bagi interval [0,b] dadi n subinterval sing ambané padha Δx = (b - 0)/n = b/n lan titik t'i sing dipilih yaiku titik akir kiwa saben subinterval, partisi sing diéntuki awaké dhéwé yaiku:

 P = \{0, \frac{b}{n}, \frac{2b}{n}, \frac{3b}{n}, \ldots, \frac{nb}{n}\} lan t_i = \frac{ib}{n}, saéngga:
\begin{align}
  \int_0^b f(x)\, dx &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x\\
  &=  \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib}{n}.\frac{b}{n} \\
  &=  \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib^2}{n^2} \\
  &=  \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2}\sum_{i=1}^n i \\
  &=  \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2} . \frac{n(n+1)}{2}\\
  &=  \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{2} (1+\frac{1}{n}) \\ 
\end{align}

Bebarengan karo n nyeraki ora kaétung lan norma partisi \lVert P \rVert nyeraki 0, mula diéntuki:

\int_0^b f(x)\, dx = A = \frac {b^2}{2}

Jroning praktèké, panrapan dhéfinisi integral tinentu nalika nggolèki pangaji integral tinentu kasebut arang banget digunakaké amarga ora praktis. Téoréma dhasar kalkulus (delengen bagéyan ngisor) mènèhaké cara sing luwih praktis jroning panggolèkan pangaji integral tinentu.

Integral ora tentu[sunting | sunting sumber]

Nalika integral tinentu iku sawijining wilangan sing gedhéné ditemtokaké kanthi njupuk limit gunggungan Riemann, sing diasosiasikaké kanthi partisi interval katutup sing norma partisiné nyeraki nol, téoréma dhasar kalkulus (delengen bagéyan ngisor) nélakaké yèn integral tinentu sawijining fungsi kontinu bisa diétung kanthi gampang yèn awaké dhéwé bisa golèk antiturunan/antiderivatif fungsi kasebut.

Yèn

F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).

Sakabèhing himpunan antiturunan/antiderivatif sawijining fungsi ƒ iku integral ora tentu utawa uga primitif saka ƒ marang x lan ditulisaké sacara matématis minangka:

\int f(x) dx = F(x) + C

Èksprèsi F(x) + C iku antiderivatif umum ƒ lan C iku konstanta sembarang.

Upamané ana sawijining fungsi f(x) = x^2, mula integral ora tentu utawa uga antiturunan saka fungsi kasebut yaiku:

\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C

Gateèkna yèn integral tinentu béda karo integral ora tentu. Integral tinentu jroning wangun \int_a^b f(x) dx iku sawijining wilangan, nalika integral ora tentu :\int f(x) dx iku sawijining fungsi sing duwé tambahan konstanta sembarang C.

Téoréma dhasar[sunting | sunting sumber]

Téoréma dhasar kalkulus nélakaké yèn turunan lan integral iku rong operasi sing silih adu arep. Luwih tepaté, téoréma iki nggandhèngaké pangaji saka anti derivatif karo integral tinentu. Amarga luwih gampang ngétung sawijining anti derivatif tinimbang nerapaké dhéfinisi integral tinentu, téoréma dhasar kalkulus mènèhi cara sing praktis jroning ngétung integral tinentu.

Téoréma dhasar kalkulus nélakaké:

Yèn sawijining fungsi f iku kontinu ing interval [a,b] lan yèn F iku fungsi sing ing ngendi turunané iku f ing interval (a,b), mula

\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).

Luwih lanjut, kanggo saben x ing interval (a,b),

F'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).

Minangka contoné yèn awaké dhéwé arep ngétung pangaji integral \int_a^b x\, dx, tinimbang migunakaké dhéfinisi integral tinentu minangka limit saka gunggung Riemann (delengen bagéyan ndhuwur), awaké dhéwé bisa migunakaké téoréma dhasar kalkulus kanggo ngétung pangaji integral kasebut.

Anti derivatif saka fungsi f(x)= x\, iku F(x)= \frac{1}{2} x^2 + C. Mula saka kuwi, selaras karo téoréma dhasar kalkulus, pangaji saka integral tinentu \int_a^b x \,dx yaiku:

\begin{align}
\int_{a}^{b} x\,dx &= F(b) - F(a) \\
&= \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{2} a^2 \\
\end{align}

Yèn awaké dhéwé arep golèk wiyar dhaérah A sangisoré kurva y=x ing interval [0,b], b>0, mula awaké dhéwé bakal éntuk:

\int_{0}^{b} x\,dx = \frac {b^2}{2}

Gatekna yèn asil sing diéntuk awaké dhéwé kanthi migunakaké téoréma dhasar kalkulus iki padha karo asil sing diéntuk kanthi nerapaké dhefinisi integral tinentu (delengen bagéyan dhuwur). Amarga luwih praktis, téoréma dhasar kalkulus asring digunakaké kanggo golèk pangaji integral tinentu.

Aplikasi[sunting | sunting sumber]

Pola spiral logaritma cangkok Nautilus arupa conto klasik kanggo nggambaraké perkembangan lan owah-owahan sing magepokan karo kalkulus.

Kalkulus digunakaké ing saben cabang sains fisik, sains komputer, statistik, tèknik, ékonomi, bisnis, kadhokteran, kapendhudhukan, lan ing bidhang-bidhang liyané. Saben konsèp ing mékanika klasik silih magepokan liwat kalkulus. Massa saka sawijining bendha karo massa jenis sing ora dikawruhi, momen inersia saka sawijining objèk, lan total ènèrgi saka sawijining objèk bisa ditemtokaké kanthi migunakaké kalkulus.

Jroning subdhisiplin listrik lan magnètisme, kalkulus bisa digunakaké kanggo nggolèki total fluks saka sawijining médhan èlèktromagnètik. Conto historis liyané yaiku panggunaan kalkulus ing hukum gerak Newton, ditélakaké minangka laju owah-owahan sing ngrujuk menyang turunan: Laju owah-owahan momèntum saka sawijining bendha yaiku padha karo résultan gaya sing makarya ing bendha kasebut kanthi arah sing padha.

Malah rumus umum saka ukum kaloro Newton: Gaya = Massa × Percepatan, migunakaké parumusan kalkulus difèrènsial amarga percepatan bisa ditélakaké minangka turunan saka kacepetan. Téori èlèktromagnètik Maxwell lan téori rélativitas Einstein uga dirumusaké migunakaké kalkulus difèrènsial.

Réferènsi[sunting | sunting sumber]

Sumber[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Helmer Aslaksen. Why Calculus? National University of Singapore.
  2. ^ Archimedes, Method, in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7
  3. ^ Aryabhata the Elder
  4. ^ Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II.
  5. ^ Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3), pp. 163-174.
  6. ^ J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), pp. 304-309.
  7. ^ "Madhava". Biography of Madhava. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html. Retrieved 2006-09-13.
  8. ^ "An overview of Indian mathematics". Indian Maths. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_mathematics.html. Retrieved 2006-07-07.
  9. ^ "Science and technology in free India". Government of Kerala — Kerala Call, September 2004. Prof.C.G.Ramachandran Nair. http://www.kerala.gov.in/keralcallsep04/p22-24.pdf. Retrieved 2006-07-09.
  10. ^ Charles Whish (1835). Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland.
  11. ^ UNESCO-World Data on Education isapi.dll?clientID=137079235&infobase=iwde.nfo&softpage=PL frame

Dhaftar pustaka[sunting | sunting sumber]

  • Donald A. McQuarrie (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5
  • James Stewart (2002). Calculus: Early Transcendentals, 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39321-2

Sumber liya[sunting | sunting sumber]

Wacan terusan[sunting | sunting sumber]

  • Robert A. Adams. (1999) ISBN 978-0-201-39607-2 Calculus: A complete course.
  • Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986) Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7,
  • John L. Bell: A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0-521-62401-5.
  • Florian Cajori, "The History of Notations of the Calculus." Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep., 1923), pp. 1-46.
  • Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus", Princeton Univ. Press, 2004
  • Cliff Pickover. (2003) ISBN 978-0-471-26987-8 Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind.
  • Michael Spivak. (Sept 1994) ISBN 978-0-914098-89-8 Calculus. Publish or Perish publishing.
  • Silvanus P. Thompson dan Martin Gardner. (1998) ISBN 978-0-312-18548-0 Calculus Made Easy.
  • Mathematical Association of America. (1988) Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter, The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.
  • Thomas/Finney. (1996) ISBN 978-0-201-53174-9 Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley.
  • Weisstein, Eric W. "Second Fundamental Theorem of Calculus." dari MathWorld--A Wolfram Web Resource.

Pustaka daring[sunting | sunting sumber]

Kaca wèb[sunting | sunting sumber]


Artikel punika taksih tulisan rintisan (stub). Sinten kémawon ingkang kersa mbenakaken, sumangga kémawon.

Sumber artikel punika saking kaca situs web: "http://jv.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus&oldid=887822"